Class 5 | Divisibility Rules for x^n +y^n and x^n−y^n | Number System | By Nitesh Sir
नियमों का सारांश (Quick Rules Revision)
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स्थिति (Condition) |
भाजकता का नियम (Divisibility Rule) |
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यदि n विषम (Odd) है |
(x^n + y^n), (x + y) से विभाजित होगा |
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यदि n विषम (Odd) है |
(x^n - y^n), (x - y) से विभाजित होगा |
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यदि n सम (Even) है |
(x^n - y^n), (x - y) और (x + y) दोनों से विभाजित होगा |
प्रश्न 1:
87^97 + 1 निम्न में से किस संख्या से पूर्णतः
विभाजित होगा?
A) 86
B) 87
C) 88
D) 97
उत्तर: C)
88
हल (Solution):
- व्यंजक को
इस रूप में लिखें: 87^97 + 1^97
- यहाँ घात
(n) = 97 है, जो एक विषम (Odd) संख्या है।
- नियम के
अनुसार: (x^n + y^n) हमेशा (x
+ y) से विभाजित होता है।
- अतः,
87 + 1 = 88।
निष्कर्ष: 87^97
+ 1, संख्या 88 से पूरी तरह विभाज्य है।
प्रश्न 2:
83^93 - 1 को विभाजित करने वाली संख्या ज्ञात
कीजिए:
A) 41
B) 84
C) 93
D) 83
उत्तर: A)
41
हल (Solution):
- व्यंजक: 83^93
- 1^93
- यहाँ घात
(n) = 93 है, जो एक विषम (Odd) संख्या है।
- नियम: (x^n
- y^n) हमेशा (x -
y) से विभाजित होता है।
- गणना: 83
- 1 = 82।
- क्योंकि 82
= 2*41, इसलिए जो
संख्या 82 से
कटेगी, वह 41 से भी अवश्य कटेगी।
निष्कर्ष: 83^93
- 1, संख्या 41 से पूर्णतः विभाज्य है।
प्रश्न 3:
63^98 - 1 निम्न में से किन संख्याओं से
विभाज्य है?
A) केवल 62
B) केवल 64
C) केवल 16
D) ये सभी (62, 64, और 16)
उत्तर: D) ये सभी
हल (Solution):
- व्यंजक: 63^98
- 1^98
- यहाँ घात
(n) = 98 है, जो एक सम (Even) संख्या है।
- नियम: (x^n
- y^n) हमेशा (x -
y) और (x + y) दोनों से विभाजित होता है।
- गणना:
- (x - y) = 63 - 1 = 62
- (x + y) = 63 + 1 = 64
- चूँकि यह 64 से विभाज्य है, और 64 = 4*16, इसलिए यह 16 से भी विभाज्य होगा।
निष्कर्ष: यह व्यंजक 62, 64 और 16 सभी से
विभाजित होता है।
अभ्यास
के लिए तालिका (Summary Table)
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प्रश्न |
घात का प्रकार |
भाजक (Divisor) |
मुख्य उत्तर |
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87^97 + 1 |
विषम (Odd) |
(87+1) |
88 |
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83^93 - 1 |
विषम (Odd) |
(83-1) |
82 या 41 |
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63^98 - 1 |
सम (Even) |
(63-1) और (63+1) |
62, 64, 16 |
