निकिलम् नवतश्चरमम् दशतः विधि

 

निकिलम् नवतश्चरमम् दशतः विधि (Nikhilam Navatashcaramam Dashatah Vidhi)
यह वैदिक गणित की एक शक्तिशाली ट्रिक है, जो बड़े संख्याओं का गुणा बहुत तेज़ करती है — विशेषकर जब संख्याएँ 10, 100, 1000… जैसी किसी base के पास हों।

⭐ Nikhilam सूत्र – सरल भाषा में समझें

अर्थ:

• निकिलम् = "सबका"
• नवतश्चरमम् = "9 से"
• दशतः = "10 से"
  👉 यानी 10, 100, 1000… से घटाकर गुणा करने की विधि।

⭐ कब प्रयोग करें?

जब दोनों संख्याएँ base के पास-पास हों:

• 10 के पास
• 100 के पास
• 1000 के पास

जैसे:
98 × 97, 103 × 107, 89 × 94, 1003 × 998 आदि।

⭐ STEP–WISE Method (निकिलम् नियम)

Step 1: Base चुनें

जैसे 100 के पास है → base = 100

Step 2: दोनों संख्याओं का base से “अंतर” निकालें

ऊपर या नीचे (positive या negative)

Step 3:

Left Part = Cross subtract या cross add
(कोई भी तरीका चलेगा)

Step 4:

Right Part = दोनों अंतर (deficiency/excess) का गुणन
→ Base के अनुसार दाएँ भाग में उतने ही digits आएँगे
Example: Base 100 → right part = 2 digit

⭐ EXAMPLES WITH SOLUTION

✅ 1) 109 × 112 (Base = 100)

109 → +9
112 → +12

Left part = 109 + 12 = 121
Right part = 9 × 12 = 108 (2 digits चाहिए → 108 ही चलेगा क्योंकि 3 digits है तो carry होगा)
→ 108 = 1 carry + 08

Final = (121 + 1) | 08 = 12208

✔ Answer = 12208

 

✅ 2) 107 × 114 (Base = 100)

107 → +7
114 → +14

Left = 107 + 14 = 121
Right = 7 × 14 = 98

Final = 12198

✔ Answer = 12198

 

✅ 3) 97 × 92 (Base = 100)

97 → –3
92 → –8

Left = 97 – 8 = 89
Right = (–3) × (–8) = 24

✔ Answer = 8924

 

✅ 4) 87 × 88 (Base = 100)

87 → –13
88 → –12

Left = 87 – 12 = 75
Right = (–13)(–12) = 156 → 2 digits चाहिए → 1 carry + 56

Final = (75 + 1) | 56 = 7656

✔ Answer = 7656

 

✅ 5) 107 × 89 (Base = 100)

107 → +7
89 → –11

Left = 107 – 11 = 96
Right = 7 × (–11) = –77
Right negative → 100 – 77 = 23 और Left से 1 borrow

Left new = 96 – 1 = 95
Right = 23

✔ Answer = 9523

 

✅ 6) 112 × 87 (Base = 100)

112 → +12
87 → –13

Left = 112 – 13 = 99
Right = 12 × (–13) = –156

Right negative:
100 – 156 = –56 → फिर 100 जोड़ो: 100 – 56 = 44
But carry = –2

Better way:
112 × 87 = 112 × (100 – 13)
= 11200 – 1456
= 9744

✔ Answer = 9744

(निकिलम से negative बड़ी value होने पर direct formula आसान है)

 

✅ 7) 996 × 992 (Base = 1000)

996 → –4
992 → –8

Left = 996 – 8 = 988
Right = (–4)(–8) = 32
3 digits चाहिए → 032

✔ Answer = 988032